ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿ ಸವಾರಿ

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದರೆ ವಿವರಿಸಬೇಕಿಲ್ಲವಷ್ಟೆ. ತಾವಲ್ಲದೆ ಬೇರೆ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದಲೂ ಭಾಗಿಸಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇವಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ, 1, 3, 5, 7, 11, 13… ಈಗ ನೀವು ಕೇಳುವ ಪ್ರಶ್ನೆ ಬಹಳ ಸರಳವಾದದ್ದು. ಮುಂದಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? ಇದಕ್ಕೆ ಸದ್ಯಕ್ಕೆ 17 ಎನ್ನುವ ಉತ್ತರವನ್ನು ನಾನು ಹೇಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಇಷ್ಟರಿಂದಲೇ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು ಎನ್ನುವುದು ಕಷ್ಟ.  ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಯಾವ ವಿನ್ಯಾಸವೂ ಇಲ್ಲ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಲೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಒಂದು ನಿಗೂಢ ಖಜಾನೆ ಇದ್ದಂತೆ. ಇದರಿಂದ ಹೆಕ್ಕಿದಷ್ಟೂ ವಿಸ್ಮಯದ ಅಂಶಗಳು ಬಯಲಾಗುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತವೆ.

ಇದಕ್ಕೊಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.  ಒಂದರನಂತರ ಇನ್ನೊಂದರಂತೆ ಬರುವ ಎರಡು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಕನಿಷ್ಟ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 2 ಅನ್ನಬಹುದು. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಹಾಗೆಯೇ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಅಷ್ಟೆ! ಎರಡು ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 2. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 2 ಸೇರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತೊಂದು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ ದೊರೆತೇ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.  ಆದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಷ್ಟಿರಬಹುದು? ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಗೆ ಕೊನೆಯೇ ಇಲ್ಲ. ಕೊನೆಯಿದೆ ಎಂದುಕೊಂಡಿರೆನ್ನಿ, ಅದರ ಮುಂದೆ ಇನ್ನೊಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಲೇ ಬೇಕು ಎಂದು ಸುಮಾರು 2300 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಜನಕನೆಂದು ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧನಾದ ಯೂಕ್ಲೀಡ್ ಸಾಧಿಸಿದ್ದ. ಅವನ ತರ್ಕ ಹೀಗಿತ್ತು.

ಒಟ್ಟಾರೆ ಇರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅವಕ್ಕೆ ಬೇರೆ ಹೆಸರಿಡೋಣ. ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಅ1 ಅಂತ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಕೊನೆಯದಕ್ಕೆ ಅn ಎಂತಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈಗ ಇವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಗುಣಿಸೋಣ. ಇದು (ಅ1 ´ ಅ2 ´ ಅ3 ´ ….. ಅn) ಎಂದಾಗುತ್ತದಷ್ಟೆ. ಈಗ ಇದಕ್ಕೆ 1 ನ್ನು ಕೂಡಿಸೋಣ.  ಈ ಸಂಕಲನದ ಉತ್ತರ (ಅ1 ´ ಅ2 ´ ಅ3 ´ ….. ಅn)  + 1, ಅಲ್ಲವೇ? ಈಗ ಈ ಉತ್ತರವನ್ನು ಅ1 ರಿಂದ (ಅ1 ´ ಅ2 ´ ಅ3 ´ ….. ಅn) ವರೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದಲೂ ಇದನ್ನು ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 1 ಎಂಬ ಶೇಷ ಉಳಿದೇ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಅರ್ಥಾತ್ ಈ ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಯಾವುದೇ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡರೂ ಅದನ್ನೂ ಮೀರಿದ ಇನ್ನೊಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದೇ ಇರಬೇಕು. ಅಂದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕೊನೆಯೇ ಇಲ್ಲ. ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿ ಅನಂತ.

list-of-prime-numbers

ಸಾವಿರಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಬೆಲೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

 

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಾಂತವಲ್ಲ, ಅನಂತ ಎನ್ನುವುದಕ್ಕೆ ಯೂಕ್ಲೀಡನಷ್ಟೆ ಪುರಾವೆ ಒದಗಿಸಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ಪುರಾವೆಗಳೂ ಇವೆ. ರೋಹಿತ್ ಚಕ್ರತೀರ್ಥರು ಬರೆದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿರುವ  ಈ ಮಾತುಗಳು ಇದನ್ನು ಸುಂದರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ.

“ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಅನಂತ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಪುರಾತನ ವ್ಯಕ್ತಿ ಕೊಟ್ಟ ಸಾಧನೆ ಸಾಕಾಗಲಿಲ್ಲವೆಂದು ಇದುವರೆಗೆ ಆಗಿ ಹೋದ ಕೆಲ ಗಣಿತಜ್ಞರು ತಮ್ಮ ಸಾಧನೆಗಳನ್ನೂ ಈ ಮಾಲೆಗೆ ಕಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಏರ್ಡಿಶ್ ರಂತಹ ಆಧುನಿಕ ಯುಗದ ರಸಋಷಿಗಳೂ ತಮ್ಮ ಒಂದೆರಡು ಗುಲಾಬಿ ಹೂವುಗಳನ್ನು ಪೋಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ನನಗೆ ಇವುಗಳಲ್ಲೆಲ್ಲ ವಿಶೇಷವಾದದ್ದು ಎನ್ನಿಸುವುದು ಕುಮ್ಮರ್ ಎನ್ನುವ ಗಣಿತಜ್ಞ 1878ರಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟ ಒಂದು ಪುಟ್ಟ ಸಾಧನೆ. ಬೆಚ್ಚಿಬೀಳಿಸುವ ಸರಳತೆ ಮತ್ತು ಹೃದಯದ ಕಣ್ಣು ತೆರೆಸುವ ಅನುಪಮ ಸೌಂದರ್ಯಗಳಿಂದಾಗಿ ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನ ಬುದ್ಧಿಮತ್ತೆಗೆ ಸವಾಲು ಹಾಕುವಂತಿದೆ. ನೋಡಿ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಂತ ಅಂದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಸಾಂತ ಅಂದರೆ finite ಮಿತವಾದ ಎಂದು ಅರ್ಥ. ಅ1, ಅ2, ಅ3… ಅn , ಇವು ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು. ಇವುಗಳಾಚೆ ಬೇರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವೇ ಇಲ್ಲ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ. ಈಗ ಇವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಗುಣಿಸಿ ಬರುವ ಉತ್ತರವನ್ನು t  ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ.  ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಂದೇ ಒಂದು ಬೆಲೆ ಕಡಿಮೆಯಿರುವ t-1 ಕೂಡ ಅn ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಅದೇ ಕಾರಣಕ್ಕೇ ಅದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ, ನಾವೀಗಾಗಲೇ ಅn ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯವೆಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಅದರಾಚೆ ಸಿಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಲ್ಲ ಭಾಜ್ಯಗಳೇ ಆಗಿರಬೇಕು ತಾನೆ? ಭಾಜ್ಯ ಎಂದ ಮೇಲೆ ಅದನ್ನು ಭೇದಿಸುವ, ತುಂಡರಿಸುವ ಒಂದಾದರೂ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಲೇಬೇಕಲ್ಲ? ಅದನ್ನು ಸುಮ್ಮನೆ ‘p’ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. p ಬೇರೆಲ್ಲಿಂದಲೋ ಬಂದ ಬೆಲೆ ಅಲ್ಲ. ನಮ್ಮ ಬಳಿ ಇರುವ ಅ1, ಅ2, ಅ3… ಅn ಗಳ ಮಧ್ಯದಿಂದಲೇ ಎದ್ದು ಬಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಅದು. ಅಂದರೆ p  ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ t ಮತ್ತು t-1 ಎರಡನ್ನೂ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದಾಯಿತು. ಹಾಗಾದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆ t – (t-1) = 1 ನ್ನು ಕೂಡ ಭಾಗಿಸಬೇಕು! (x ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತದಾದರೆ, a+b ಮತ್ತು a-b ಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಅದು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎನ್ನುವುದು ಗಣಿತದ ಒಂದು ಸರಳ ನಿಯಮ). 1ನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂದರೆ ಏನರ್ಥ? ಆ ಭಾಜಕ 1ಕ್ಕಿಂತಲೂ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬೇಕಲ್ಲವೆ? 1ಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕ (ಅರ್ಥಾತ್ ಋಣವೋ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೋ ಆಗಿರುವ) ಸಂಖ್ಯೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೇಗೆ? ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಬರಲು ಕಾರಣವೇನೆಂದರೆ,ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೀಮಿತ, ಪರಿಮಿತ ಎನ್ನುವ ತಪ್ಪು ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಹೊರಟಿದ್ದೇವೆ. ಹಾಗಾಗಿ  ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಂತವಲ್ಲ. ಅನಂತ – ಎಂದೇ ಹೇಳಬಹುದು ಹಾಗೂ ಧಾರಾಳವಾಗಿ ಒಪ್ಪಬಹುದು.”

ಅನಂತವೇನೋ ಸರಿ. ಆದರೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವಂತೆ ಯಾವುದಾದರೂ ವಿನ್ಯಾಸವಿರಲೇ ಬೇಕಲ್ಲವೇ? ಏಕೆಂದರೆ ಗಣಿತ ಎನ್ನುವುದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿರುವ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಹಂಬಲದಿಂದ ಹುಟ್ಟಿದ್ದಷ್ಟೆ. ಸಹಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಡುವೆ ಇರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 1. ಹತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆಚೆಗೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹತ್ತನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ಹುಡುಕಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅದರ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯ ಹತ್ತರ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಸಹಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಗುಟ್ಟು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಇಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿ ಒಗ್ಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ತೀರದ, ಅನಂತ ಕುತೂಹಲ.  ಹೀಗಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಸಾವಿರಾರು ವರ್ಷಗಳಿಂದ ನಡೆದಿದೆ. ನಡೆಯುತ್ತಿವೆ. ಇಂತಹ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಯತ್ನ ಈಗ ಸುದ್ದಿ ಮಾಡುತ್ತಿದೆ.

ಅಮೆರಿಕೆಯ ಸ್ಟಾನ್ ಫರ್ಡ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಲ್ಲಿರುವ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕಣ್ಣನ್ ಸೌಂದರರಾಜನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಸದೊಂದು ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇವರ ಪ್ರಕಾರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಎರಡು ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಹೇಗೆ ಎಂದಿರಾ? ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೂ ಅದು 1,3 7 ಅಥವಾ 9 ಈ ಯಾವುದಾದರೂ ನಾಲಕ್ಕು ಅಂಕೆಗಳಿಂದಲೇ ಕೊನೆಯಾಗಬೇಕು. 5 ರಿಂದ ಕೊನೆಯಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯವೆನ್ನಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಅಂಕೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿರಬಹುದಲ್ಲವೇ? ಅವು ನಿಶ್ಚಿತ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಮರುಕಳಿಸಬಹುದೇ?

ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಇಂತಹ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು ಹೇಗೆ? ಇಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಕಯಂತ್ರಗಳ ನೆರವು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಬರೆದು ಅವುಗಳ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಕ್ಕುವುದು ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಕೆಲವೊಂದು ಗಣಕ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಇಂತಿಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯೊಳಗೆ ಇರಬಹುದಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಷ್ಟು ಎಂದು ಕೇಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಲಕ್ಷ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಳಗೆ ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ? ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 1 ಅಂಕೆಯಿಂದ ಕೊನೆಯಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಷ್ಟಿವೆ ಎಂದೆಲ್ಲಾ ಪ್ರಶ್ನೆ ಕೇಳಬಹುದು?  1,3,7,9 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಕೊನೆಯಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ವಿನ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅವೆಲ್ಲವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಿಸಮನಾಗಿ ಇರಬೇಕಷ್ಟೆ.

ಇದನ್ನು ಹೀಗೂ ಹೇಳಬಹುದು. ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಕೊನೆ ಅಂಕೆ 1 ಹಾಗೂ ಮತ್ತೊಂದರ ಕೊನೆ ಅಂಕೆ 3 ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ.  ಇಂತಹ ಜೋಡಿಗಳು ಎಷ್ಟಿರಬಹುದು? ಹಾಗೆಯೇ ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆ 1 ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆ 7 ಇರುವ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಜೋಡಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಷ್ಟಿರಬಹುದು? 1 ಮತ್ತು 1 ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆಗಳಾಗಿರುವ ಜೋಡಿ ಅಂಕೆಗಳು ಎಷ್ಟಿರಬಹುದು ಎಂದು ಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಷ್ಟಿರಬಹುದು? ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಅವು ಒಂದಿನ್ನೊಂದರ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿಯೇ ಇರುತ್ತವೆಯೋ ಅಥವಾ ಚೆಲ್ಲಾಪಿಲ್ಲಿಯಾಗಿ ಎಲ್ಲೆಲ್ಲೋ ಇರುತ್ತವೆಯೋ? ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆ ಯಾವುದೇ ಇರಲಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಿನ್ಯಾಸವೂ ಇಲ್ಲವೆನ್ನಿ. ಅರ್ಥಾತ್, ತಮ್ಮ ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಇವುಗಳು ತಮ್ಮಂತವರ ಜೊತೆಯೇ ಸೇರಿ ಕಾಲೊನಿ ಕಟ್ಟಿಕೊಂಡಿಲ್ಲವೆಂದರೆ ಇವುಗಳ ವಿತರಣೆ ಸರಿ ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು. ಅಂದರೆ 1,3; 1,7; 1,9 ಇವು ಹಾಗೂ 1,1 ಕೊನೆಯಂಕೆಗಳಾಗಿರುವ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸರಿಸಮವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಲಕ್ಷದೊಳಗೆ 1,3 ಕೊನೆಯಂಕೆ ಇರುವ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೂರಿರುತ್ತವಾದರೆ, 1,7, 1,9, ಹಾಗೂ 1,1 ಕೂಡ ಅಷ್ಟೇ ಇರಬೇಕು. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕೆಗಳು ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಬರುವುದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರಣವಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ ಇವು ಸರಿ ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಬೇಕು. ಇದನ್ನು ರಾಂಡಮ್ ನೆಸ್ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ಇದೇ ತರ್ಕದ ಬೆನ್ನು ಹತ್ತಿದ ಸೌಂದರರಾಜನ್, 1,1; 3,3; 7,7 ಹಾಗೂ 9,9 ಈ ಕೊನೆಯಂಕಿ ಜೋಡಿಗಳಿಗೂ ಇತರೆ ಕೊನೆಯಂಕಿಗಳ ಜೋಡಿಗಳಿಗೂ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆಯೇ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದಾರೆ. ಇವರ ಲೆಕ್ಕದ ಪ್ರಕಾರ 1,1; 3,3; 7,7; ಹಾಗೂ 9,9 ಎಂದು ಕೊನೆಯಂಕೆಯಿರುವ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, 1,7; 1,3; 1,9, 3,1; 3,7; 3,9;, 7,1;, 7,3; 7,9; 9,1; 9,3; 9,7; ಎಂಬ ಕೊನೆಯಂಕೆಗಳಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು. ಅಂದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಂಕೆಯಿಂದ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತುಸು ಕಡಿಮೆ.

ಇದೇಕೆ ಹೀಗೆ ಎಂದು ಕೇಳಬೇಡಿ? ಇದು ಹಾಗೇ! ಅಷ್ಟೆ. ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಇದನ್ನ ಯಾಕೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂದೂ ಪ್ರಶ್ನಿಸಬೇಡಿ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಒಂದು ಆಟದ ವಸ್ತು. ಎಷ್ಟೇ ಆಡಿದರೂ ಮುಗಿಯದ ಆಟ ಇದು.  ಹಾಗಾಗಿ ಇಂತಹ ಆಟಗಳನ್ನು ಅವರು ಆಡುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತಾರೆ. “ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಯಾಕೆ ನಿಮಗೆ ಇಷ್ಟು ಆಸಕ್ತಿ ಎಂದರೆ ಅದು ಇದೆಯಲ್ಲ ಅದಕ್ಕೇ” ಎಂದು ಯಾರೋ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಹೇಳಿದ್ದು ನೆನಪಿದೆಯಲ್ಲ. ಇದೂ ಹಾಗೆಯೇ! ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟೋ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿರಬಹುದು. ಅದು ಇದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದಷ್ಟೆ ಉದ್ದೇಶ. “ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ರಾಂಡಮ್ ಆಗಿ ಇರಲಿಕ್ಕಿಲ್ಲ, ಕೆಲವು ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ಮರುಕಳಿಕೆ ಹೆಚ್ಚು,” ಎನ್ನುವುದು ಸೌಂದರರಾಜನ್ ಅವರ ಶೋಧಧ ಹೂರಣ. “ಇದರಿಂದ ಏನು ಪ್ರಯೋಜನ ಅನ್ನುವುದು ನನಗೂ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ,” ಎಂದಿದ್ದಾರೆ ಸೌಂದರರಾಜನ್. ನಿಮಗೇನಾದರೂ ಉಪಯೋಗವಾಗುತ್ತದೆಯೋ ನೋಡಿ ಹೇಳಿ!

_______________________

ಟಿಪ್ಪಣಿ: ರೋಹಿತ್ ಚಕ್ರತೀರ್ಥರ ಬರೆಹವನ್ನು ಅವರ  ಒಪ್ಪಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೂಡಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ. ಆದರೆ ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನಷ್ಟೆ ನನ್ನ ಬರೆಹದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಕೇತಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಹೊಂದುವಂತೆ ಬದಲಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ. ಚಕ್ರತೀರ್ಥರು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗಳಿಗೆ ಪರಮೇಯವೆಂದೂ ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ. ಅದನ್ನೆಲ್ಲ ಗೊಂದಲವಾಗದಿರಲಿ ಎಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದೇ ಟಂಕಿಸಿದ್ದೇನೆ.

 

ಆಕರ:

1. Nature doi:10.1038/nature.2016.19550 (17.3.2016)

2. ROBERT J. LEMKE OLIVER AND KANNAN SOUNDARARAJAN, UNEXPECTED BIASES IN THE DISTRIBUTION OF CONSECUTIVE PRIMES, arXiv:1603.03720 [math.NT] (15.3.2016)

 

 

 

 

 

Advertisements
Published in: on ಮಾರ್ಚ್ 20, 2016 at 7:34 ಅಪರಾಹ್ನ  Comments (1)  

The URI to TrackBack this entry is: https://kollegala.wordpress.com/2016/03/20/%e0%b2%85%e0%b2%b5%e0%b2%bf%e0%b2%ad%e0%b2%be%e0%b2%9c%e0%b3%8d%e0%b2%af-%e0%b2%b8%e0%b2%82%e0%b2%96%e0%b3%8d%e0%b2%af%e0%b3%86%e0%b2%97%e0%b2%b3-%e0%b2%9c%e0%b3%8b%e0%b2%a1%e0%b2%bf-%e0%b2%b8/trackback/

RSS feed for comments on this post.

One Commentನಿಮ್ಮ ಟಿಪ್ಪಣಿ ಬರೆಯಿರಿ

  1. ಉತ್ತಮ ಲೇಖನ. ಜೋಡಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರಣ್ ಕೊಡಿ ದಯವಿಟ್ಟು


ನಿಮ್ಮದೊಂದು ಉತ್ತರ

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: